Kelly Criterium, hoe werkt deze formule?
7 oktober 2020
Het Kelly Criterium is een formule, ook wel bekend als de Kelly formule. Je berekent ermee hoeveel je zou moeten inzetten om je kapitaal te laten groeien bij een gok. Eerst even in het algemeen iets over het inzetten bij gokken. Op de vraag hoeveel je zou moeten inzetten zijn immers al talrijke antwoorden gegeven.
Die antwoorden draaien meestal rond begrippen als nut, verwachte winst, strategie en dergelijke. Sommigen halen kansberekening erbij van historische geleerden, met Blaise Pascal en Daniel Bernouille als meest genoemden. En er zijn deskundigen die wijzen op de gasrekening en je hypotheek. Hun antwoord luidt ongeveer, ‘doe maar een gok met geld dat je kunt missen’.
Bij het Kelly Criterium zou je meerdere bedoelde begrippen ook kunnen gebruiken. En meerdere wiskundigen en economen doen dat ook. Maar het is niet nodig. De formule van het Kelly Criterium laat zich heel goed zonder die termen begrijpen.
Met het Kelly Criterium bereken je hoeveel je van je gokkapitaal zou moeten inzetten. Dat doe je met een formule gebaseerd op winstkans en verwachte winst. De formule is mede interessant vanwege de omgeving en de ontstaansgeschiedenis.
De omgeving is interessant omdat er veel gokkers en investeerders zijn die het Kelly Criterium fantastisch vinden. Maar er zijn ook veel mensen, waaronder gokkers en wiskundigen, die er juist kritiek op hebben. Tussen die twee groepen laveren schrijvers die vinden dat het Kelly Criterium ingewikkeld is en anderen die het willen inzetten bij roulette. Het is vanwege die gevarieerde omgeving goed eerst even naar de ontstaansgeschiedenis te kijken.
De wis- en natuurkundige John Kelly werkte in de vijftiger jaren op het laboratorium van Bell Telephone. Zijn collega Claude Shannon had juist de informatietheorie ontwikkeld. Kelly bouwde daarop voort toen hij een probleem onderzocht met telefoonruis bij lange afstanden. Bovendien mag je in het achterhoofd houden dat Kelly, evenals zijn vrouw, een enthousiast blackjackspeler was.
Voordat Shannon met zijn informatietheorie kwam, keken wetenschappers voornamelijk naar de betekenis van een bericht. Shannon beschouwde informatie als iets dat de ontvanger nog niet wist. Voor hem was informatie toeval. Het was volgens hem een onvoorspelbare reeks willekeurige gebeurtenissen, zoals het draaien van een roulettewiel of het gooien van een dobbelsteen.
Kelly zag daarin dat je met informatie een voorsprong kunt hebben, bij gokspellen en investeren (immers ook een gok). Je hebt dankzij informatie kennis die een ander of de markt niet heeft. Vandaaruit (iets weten wat anderen niet weten) verder denkend, ontwikkelde hij zijn formule.
Consequentie van zijn uitgangspunt is dat de formule alleen interessant is wanneer je een positieve winstkans hebt. Een investeerder gaat immers niet investeren in een bedrijf waarvan hij weet dat het korte tijd na de investering verliesgevend zal zijn. Bij roulette is de formule van John Kelly dus niet bruikbaar. Omdat je door de 0 en 00 van de bank op achterstand staat, een negatieve winstkans van 48,6 tegen 51,4%.
Bij gokspellen waar je enige invloed hebt op de winstkans is Kelly’s Criterium wel inzetbaar. Dus bij poker en blackjack. Ed Thorp, een andere collega van Kelly, gebruikte de formule bij blackjack en verdiende er veel geld mee. Later werd hij, dankzij de formule, ook steenrijk met zijn zakelijke investeringen.
Kelly ging ervan uit dat je een percentage van je kapitaal kunt inzetten op een weddenschap die recht evenredig is met de verwachte winsten en omgekeerd evenredig met de kans op winst.
De eenvoudige formule luidde: winstkans / verwachte winst = inzet
Deze formule werd uitgebreid met de kans op verlies. De volledige formule van het Kelly Criterium luid nu: (B*P – Q) / B
Daarin is B de winstkans – 1, P de verwachte kans op op winst en Q de kans op verlies. Dat laatste is logischerwijs gelijk aan 1 – P. De uitkomst geeft het percentage van je gokkapitaal dat je zou moeten inzetten om je kapitaal te laten groeien.
Gokkapitaal is wat ons betreft het bedrag dat je apart hebt gelegd om te spelen. Je hebt het dus zeker niet nodig hebt om je GWL-rekening, je huur of andere kosten te betalen.
Normaal is de kans op kop of munt bij een muntstuk 50-50. En er zijn twee mogelijkheden, kop of munt. Maar we hebben het muntstuk bewerkt. Daardoor is de positieve kans op kop nu 54% en de kans op munt dus 46%.
Passen we die gegevens toe op de formule dan krijgen we:
(((2-1) * 0,54) – 0,46) / (2-1) = 0,08
Dat betekent dat je 8% van je kapitaal zou moeten inzetten om het op termijn te laten groeien.
Bij sportwedstrijden bepalen de bookmakers de winstkans met een decimale notatie. We gaan even uit van een fictieve voetbalsituatie, een wedstrijd tussen Ajax en Feyenoord.
Je woont in Heerenveen, dus hebt geen emotionele voorkeur. Je gaat rationeel beoordelen wat de kansen zijn. Je ziet dat Ajax de eerste vier wedstrijden van de competitie heeft gewonnen. Ze wonnen bovendien de laatste twee wedstrijden tegen Feyenoord. Maar twee spelspelers van Ajax zijn vorige week verkocht en Feyenoord heeft juist een hele goede spits aangekocht. Je geeft Ajax een positieve kans van 60% (P = 0,6) om te winnen. De bookmaker noteert voor Ajax een 1.7 winstkans.
De berekening:
(((1.7 – 1) * 0,6) – 0,4) / (1.7 – 1) = (0,7 * 0,6 – 0,4) / 0,7 = 0,02 / 0,7 = 0,028 = circa 3%
Je zou dus 3% van je kapitaal moeten inzetten volgens het Kelly Criterium
Je ziet bij het voorbeeld van de voetbalwedstrijd dat informatie een rol speelt. Informatie zoals Shannon en Kelly het bedoelde, de kennisvoorsprong. Stel dat je op een verjaardag van de trainer van Ajax de opstelling hoort. Niet alleen welke spelers zijn opgesteld, maar ook het spelsysteem en nog wat meer achtergrondinformatie. Daardoor schat je de kans van Ajax hoger in, bijvoorbeeld op 80%.
(((1.7 – 1) * 0,8) – 0,2) / (1.7 – 1) = (0,7 * 0,8 – 0,2) / 0,7 = 0,36 / 0,7 = 0,514 = circa 51%
Met je voorsprong in kennis krijg je bij die inzet dus bij winst heel veel meer uitbetaald. Maar de helft van je kapitaal inzetten is ook een risico. Om die en andere redenen adviseren veel gebruikers van Kelly’s Criterium een halvering of zelfs een kwart van de uitkomst in te zetten.
Voor het gemak zouden wij dan 25,5% of 12,75% nemen. Maar op die manieren halveren is niet per se zoals wiskundigen en economen het doen. Wiskundigen maken de berekening van de formule dan direct een stuk ingewikkelder en economen verzinnen er allerlei verhalen bij. Maar dan gaat het over bedrijven, miljoenen en macro-economie.
Afhankelijk van de betreffende wiskundige komt hun ‘halvering’ hoger of lager uit dan onze logische 25,5%. Hun veel ingewikkelder berekening laten we dus direct achter ons.
De formule is waardevol. Voor Ed Thorp, maar ook voor veel anderen. Bijvoorbeeld Warren Buffett schatte een kans met behulp van de formule. Hij zette 25% van zijn totale vermogen op aandelen American Express. Het maakte hem nog vermogender dan hij al was.
Toch zijn er ook mensen die kritiek hebben op het Kelly Criterium. De meeste argumenten zijn echter nauwelijks interessant. Bijvoorbeeld het feit dat je soms niet het gewenste percentage kunt inzetten, omdat een casino een limiet heeft.
Of dat de berekening wat lastig is als je meerdere gokken tegelijk wilt uitvoeren. Bij de overname van meerdere bedrijven is dat wellicht een probleem. Bij een gokspel speelt dat echter niet, wij spelen gewoon een spelletje blackjack per beurt.
