Wet van de grote getallen bij gokken

24 juni 2019

De wet van de grote getallen wordt wel eens de gokkersfout of gamblers fallacy genoemd. Of andersom, de gokkersfout wordt uitgelegd met de wet van de grote getallen. Er zit in beide een kern van waarheid. Maar niet helemaal en eigenlijk is de samentrekking ook jammer.

Want de wet van de grote getallen gaat veel verder dan een gokkersfout. En er zijn veel meer gokkersfouten dan die ene wet.

Wet van de grote getallen

De wet van de grote getallen is in de 17e eeuw geformuleerd door de Zwitserse wis- en natuurkundige Jacob Bernoulli. Hij definieerde het ongeveer als volgt: hoe vaker een gebeurtenis plaatsvindt, hoe groter de kans dat het de ware waarschijnlijkheid daarvan weergeeft.

We kunnen dat bij diverse gokspellen zien. Van het roulettespel is bekend dat de kans dat het balletjes op rood of zwart komt niet 50-50 is. Die kans is 48,6% (18/37 ste) door het bestaan van de 0 van de bank.

Achter elkaar

Het balletje kan na de eerste worp achter elkaar nog 5, 10 of zelfs 50 keer op rood komen. In principe heeft het balletje geen geheugen dus is 48,6% de kans bij welke nieuwe worp. Wiskundig beschouwt is de kans op twee keer achter elkaar echter 48,6% x 48,6% = 23,6% en op drie keer achter elkaar nog slechts 11,4%

Maar bij de wet van de grote getallen gaat het niet over achter elkaar vallen. Het handelt daarbij, zoals de formulering al aangeeft, om de grote getallen. Bernoulli zou bij het roulette voorbeeld zeggen: ‘wanneer je 10.000 keer een balletje in het wiel gooit en je schrijft het resultaat op, dan zul je zien dat het 48,6% in het rode vakje viel, 48,6% op zwart kwam en 2,8% in de bankers 0.

Ander voorbeeld

Je zult na bovenstaande wellicht wijzen naar kop of munt. De 0 van de bank speelt daarbij immers geen rol. Dat klopt. Je kunt bij kop of munt enkele keren achter elkaar munt gooien. Maar, en dat is een van de belangrijkste gokkersfouten, het muntstuk heeft geen geheugen: bij elke gooi heb je 50% kans op kop of munt.

Het enige wat de wet van de grote getallen daarover zegt is: gooi je 100, 200, 500 of 5000 keer, dan kom je steeds dichter bij de ware waarschijnlijkheid van de gebeurtenis. En die is bij het opgooien van een munt met twee verschillende zijden dus 50-50.

Filosofen

Filosofen, mensen die graag op een zonnig terras over de zin van het leven nadenken, kijken ook graag naar de wet van de grote getallen. Dan mijmeren ze bijvoorbeeld over de vraag waarom mensen gokken. Want gokkers weten toch dat ze uiteindelijk, als ze lang spelen, altijd verliezen.

Maar filosofen zien niet dat gokken ook gewoon leuk is. De gezelligheid van het spel en de spanning geven voldoening. En je kunt na een flinke winst in het begin, ook gewoon stoppen voordat Bernoulli om de hoek komt kijken. Bovendien speelt geld verliezen niet per se een rol. Er zijn heel veel dingen die geld kosten zonder (langdurige) winst of voordeel.

Copyshop

We zeiden al dat de wet van de grote getallen verder gaat dan de gokomgeving. Soms wijkt de uitleg daarbij iets af van de oorspronkelijke wet. We kijken even naar de praktijk van een copyshop. Een medewerker daarvan maakt regelmatig kopieën en het maken van een kopie kost hem ongeveer 10 seconden per kopie. De klussen bestaan gemiddeld uit 60 kopieën. In de tien minuten dat het kopieerapparaat draait, rekent hij de klus alvast af en maakt een praatje met de klant.

Dan komt er een klant en die wil 3000 kopiën. Dat is een mooie klus, denkt de man van de copyshop. Hij realiseert zich echter niet de variant op de wet van de grote getallen, omdat hij doorgaans kleine aantallen kopieert. Bij 3000 kopiën moet hij overwerken en kan geen ander werk worden aangenomen; het kopiëren duur ruim 8 uur (3000 x 10 seconden; oponthoud door bijvullen van papier en dergelijke vergeten we maar even).

Northcote Parkinson

Het was o.a. Northote Parkinson die wees op de bijkomende problemen bij de wet van de grote getallen. Bij Bernoulli is het een eenvoudige en exacte wiskundige berekening. In de praktijk kunnen bijkomende zaken een rol spelen, zoals verwachting, gewenning, psychologie of de hiërarchie in een organisatie (de baas heeft altijd gelijk, ook al heeft hij ongelijk).

Die bijkomende zaken zorgen voor de problemen. Bij de gokker kan het zijn dat hij denkt dat het bijvoorbeeld een bewerkte dobbelsteen is. Die steen kwam vijf keer achter elkaar op twee, dan zal het de zesde keer ook wel op twee komen. Er zijn overigens dobbelstenen die zo’n bewerking hebben, door een verzwaring aan een zijde.

Gokkersfout

Er zijn meerdere gokkersfouten of denkfouten gemaakt door gokkers. De meest genoemde is de gedachte dat een rouletteballetje, dobbelsteen of muntstuk een geheugen heeft. De gokker denkt dan ten onrechte dat het muntstuk na twee of drie keer kop wel op munt zal vallen. Terwijl het muntstuk dus geen geheugen heeft. Bij elke worp is de kans 50-50.

De wet van de grote getallen zegt dat, als je maar lang genoeg gooit, altijd tot die verhouding komt bij kop en munt gooien. Dat is de ware waarschijnlijkheid van kop en munt gooien.

De ware waarschijnlijkheid

Van meerdere gokspellen is de ware waarschijnlijkheid te berekenen. We zagen het al bij roulette (48,6% voor zwart of rood en 2,8% voor de bank). Bij een dobbelsteen is het 1 tegen 6, dus is de kans 16,6% dat je een 1, 2, 3, 4, 5 of 6 gooit.

Er zijn ook situaties waarbij je het niet kunt berekenen. Dan zijn er teveel onvoorspelbare factoren in het spel. Maar er is altijd wel een bepalende factor te vinden.

Meer informatie

  • Kop of munt gooien
    • We komen nog even terug op kop of munt gooien. Het is het meest basale voorbeeld van een random spel. De kans is 50-50 en we zijn ervan overtuigd dat Bernoulli gelijk heeft. Bij heel veel gooien staat die verhouding. Maar enkele Poolse wetenschappers zeiden na hun onderzoek: ‘we kunnen de uitkomst van het opgooien van een muntstuk voorspellen tot het de grond raakt’ (pdf). Sinds dat onderzoek laten scheidsrechters het muntstuk bij tossen op de grond vallen.
    • Onderzoekers van Stanford University bouwden verder op het Poolse onderzoek. Zij ontdekten ook dat je het munstuk een beetje kunt beïnvloeden, wanneer je het opvangt in een hand. In 51 tot 60% van de gevallen landde het muntstuk bij hun onderzoek op dezelfde zijde als de onderliggende zijde bij het opgooien. Heb je een muntstuk in je handen en zie je de kop, dan ligt munt dus onderop. De kans is dan volgens de onderzoekers dus 51 tot 60% dat je kop gooit, de munt-afbeelding blijft onderop. Ze verklaren dat het waarschijnlijk komt doordat een muntstuk niet alleen rond zijn denkbeeldige as draait na het opgooien. Het is de vraag of de wet van de grote getallen hier blijft bestaan. De onderzoekers hadden daarvoor langer door moeten spelen. (pdf)
  • Loterij – Bij een dobbelsteen heb je bij elke gooi zes mogelijkheden. Bij een loterij is er slechts één gooi en er zijn duizenden of miljoenen deelnemers. Die deelnemers zou je als onderwerp van de wet van de grote getallen kunnen beschouwen. Alle verkochte loten geven een totaalbedrag. Daar worden de organisatiekosten en het bedrag voor goede doelen van afgetrokken. Wat overblijft is het uitkeringspercentage. Dat is dus altijd minder dat het totaal. Is het 75%, dan betekent dat dat elke ingelegde euro slechts 0,75 cent waard is. Er zullen zeker winnaars zijn, maar als totaal maken de deelnemers verlies.
  • Overzicht van kansen, waarop je dus uitkomt bij uitvoering van de wet van de grote getallen:
    • Kop of munt – 50%
    • Dobbelsteen – 16,6%
    • Kaarten – 1,9% (bij spel met 52 kaarten)
    • Blackjack – 4,839% kans op 21
    • Roulette – 48,6% (bij Europees roulette). 47,3% (bij Amerikaans roulette)
    • Gokkasten– 0,00009% op drie vooraf gekozen gelijken bij mechanische kast met 22 symbolen per wiel, bijv 3 citroenen. De kans op willekeurige drie gelijken is 0,002%
  • Northcote Parkinson wijst op meerdere denkfouten in het bedrijfsleven. Een deel daarvan is ook in wetten verwoord. Ze heten allemaal de wet van Parkinson. Kenners spreken van de eerste wet van Parkinson etc. De bekendste wet van Parkinson luidt ongeveer als volgt: de tijd die een taak duurt is gelijk aan de beschikbare tijd. Praktisch vertaald betekent dat: wanneer je iets snel en goed gedaan wilt hebben, moet je het iemand laten doen die het druk heeft.
Delen: