Kansberekening begon met gokken
1 augustus 2018
Kansberekening is een prachtig onderwerp. Hoeveel kans heb je dat je de jackpot van de staatsloterij wint, dat het rouletteballetje op rood komt of dat je in een eerste beurt blackjack, oftewel 21 punten, hebt?
Het leuke is dat kansberekening in de 17e eeuw begon met zo’n aan gokken gerelateerde vraag. En dat die werd opgelost door een Nederlander. Het begon in een rokerige Franse salon waar een paar mensen zaten te dobbelen. Ze vroegen zich af hoeveel kans ze maakten op een bepaalde uitkomst.
Nu gebruiken we kansberekening overal. In het dagelijks leven vragen we ons af hoe groot de kans is dat het morgen regent? Of die tweedehands fiets nog te koop zal staan. Of dat er een file zal staan op weg naar ons werk. Het antwoord is dan meestal een snelle schatting. We doen een slag in de lucht op basis van hoop, vertrouwen of ervaring.
Vanuit hun werksituatie onderzoeken economen, sociologen, natuurkundigen en anderen de omgeving. Met feitelijke gegevens proberen ze de kans dat iets gebeurt zo goed mogelijk te berekenen. Soms noemen ze dat nog steeds voorspellen, alsof ze toch nog een beetje in een glazen bol kijken.
Mensen dachten in de 17e eeuw anders over gokken. Of een balletje bij roulette op rood of zwart terecht kwam, vonden ze iets van het lot. Een hogere macht beschikte daarover. Er waren echter al meerdere wetenschappers die anders naar de wereld keken.
Twee van die wetenschappers in Frankrijk waren Blaise Pascal en Pierre de Fermat. In 1654 legde Antoine Gombard, een notoire gokker, Pascal een vraag voor over twee dobbelstenen. Hoe vaak moet ik gooien met twee dobbelstenen, was zijn vraag, om twee zessen te gooien.
Blaise Pascal
Pascal zag de uitdaging en begon een briefwisseling met Fermat over de vraag. Wetenschappelijke tijdschriften bestonden nog niet. Kennis, ideeën en ontdekkingen werd per brief of mondeling uitgewisseld.
Ze gingen samen proberen de wetten van het lot, oftewel het toeval, wiskundig te beantwoorden. Dat deden ze vanzelfsprekend met de kennis van hun tijd. Kansberekening bestond nog niet, wel logisch redeneren.
Ze gebruikten een methode die voor hen al door Galileo Galilei en Giolamo Cardano was gebruikt. Pascal telde alle gevallen dat zich het gewenste resultaat voordeed. Een methode die in de wiskunde later de combinatieleer of combinatoriek zou gaan heten.
Van school kennen we die sommen als: Kees heeft drie rode en drie zwarte ballen in een zak. Hoe groot is de kans dat hij, telkens een bal pakkend, na twee keer een rode en zwarte bal in zijn handen heeft. Het is een soortgelijke vraag die aan Pascal werd gesteld over de dobbelstenen. En eenzelfde als de drie helemaal bovenaan in dit bericht.
Christiaan Huygens
De Hagenaar Christiaan Huygens studeerde rechten en wiskunde. Hij was in meerdere wetenschappen geïnteresseerd. En hij wetenschapper en uitvinder. Hij vond het slingeruurwerk uit en bedacht het principe van de stoommachine. Maar vooral deed hij veel ontdekkingen in de wiskunde.
Tijdens een reis door Frankrijk in 1855 hoorde hij in Parijs van de Franse wiskundige Gilles Roberval over de briefwisseling tussen Pascal en Fermat. De vraag was eenvoudig. Hoe de Franse wetenschappers het probleem benaderde wist hij niet, maar de vraag intrigeerde hem.
Op de weg terug naar Nederland, dat toen nog Holland heette, loste Huygens het probleem op. In plaats van het te beredeneren, zoals Pascal, gebruikte hij daarvoor een rekenmethode. Thuisgekomen legde hij zijn rekenwerk vast en begon een briefwisseling met Pascal, Fermat, Roberval en andere wiskundigen.
Hun nieuwe opgaven loste hij steeds snel op met zijn methode. Het overtuigde hem ervan dat zijn methode goed was. Hij nam de vragen, oplossingen en beschrijving op in een boekje van zestien pagina’s.
De eerste versie daarvan verscheen, september 1657, in het Latijn met als titel De Ratiociniis in Ludo Aleae (grof vertaald: rekenen bij het gokken). Het wordt beschouwd als het eerste werk over kansberekening, ook wel waarschijnlijkheidsleer genoemd, en het begin van die richting in de wiskunde.
De vragen in het boekje van Huygens gaan van de eenvoudige eerste vraag naar, daar logisch op volgende, vragen. Die vragen zijn eenvoudig in vergelijking met de weg die de kansberekening daarna ging. Verder werkend vanaf het werk van Huygens berekenen wiskundigen, en anderen met behulp van wiskunde, tegenwoordig enorm ingewikkelde vraagstukken.
Die gaan over de kans dat een pandemie uitbreekt, wanneer een nieuwe virale ziekte is. Met kansberekening beoordelen transportbedrijven, voor ze een verzekering afsluiten, de kans dat ze door diefstal schade oplopen. Er is zelfs een wetenschapper, Brandon Carter, die berekende hoe groot de kans is dat de mens uitsterft. Bij zulke gevallen zijn veel gegevens nodig en vele aanname (het vermoeden dat iets is gebeurd of gaat gebeuren).
Voor veel gokspellen is de kansberekening echter nog redelijk eenvoudig te volgen, zelfs voor een leek. Neem bijvoorbeeld de vraag aan Pascal. We beginnen met één dobbelsteen en noemen het hier even vraag A. De kans dat je met zo’n dobbelsteen bijvoorbeeld een 2 gooit is 1 op 6, omdat een dobbelsteen bestaat uit 6 getallen (6 kanten van een kubus.
Wat als je twee dobbelstenen tegelijk gooit (vraag B). Hoe groot is dan de kans dat je twee keer 2 gooit. Omdat het een eenvoudig probleem is zou je het kunnen oplossen zoals Pascal. Dan schrijf je alle mogelijke worpen op. Dus 1 1 , 1 2, 1 3, etc. Uiteindelijk zie je dat er 36 mogelijkheden zijn, waarbij er eentje de dubbele combinatie is. Pascal ontdekte dus dat je gemiddeld 36 keer moet gooien om twee 6’en te hebben.
Gooi je echter met een dobbelsteen twee keer achter elkaar. Hoe groot is dan de kans dat je twee gelijken hebt? Die is weer 1 op 6. Want dobbelstenen hebben, evenals als bijvoorbeeld een rouletteballetje, geen geheugen. Na de eerste keer gooien is de kans bij de tweede worp weer zoals in vraag A, 1 op 6.
Huygens introduceerde letters voor waarschijnlijkheden. En dat maakt het rekenen handiger bij lastiger vraagstukken. Maar op het eerste gezicht, voor de leek, niet direct overzichtelijker of aantrekkelijk. Zoals we kunnen zien bij de betrekkelijk eenvoudige vraag rond roulette.
De kans dat je met inzetten op rood wint is nog eenvoudig te beredeneren. Er zijn 18 getallen rood en evenveel zwarte getallen. De kans is dus 50%. Door het vakje 0 van de bank is de winstkans echter iets minder. Er zijn daardoor immers 19 vakjes waarmee je verliest. De kans dat je wint is daardoor 18 gedeeld door 37 (alle vakjes) is 0,486 oftewel 48,6%.
De wiskundige definieert voor deze vraag eerst de mogelijkheden in letters. Hij zegt bijv. de kans op winst noem ik A en de kans op verlies B. Dan legt hij, bij bovenstaande voorbeeld, vast dat A = 18/37 en B = 19/37. In een formule of kans-regel schrijft hij tenslotte: A = 1 – B = 18/37 (de kans op winst) of B = 1 – A = 19/37 (de kans op verlies).
Het wordt al iets onoverzichtelijker als hij, op basis van die winst-/verlieskans, de mogelijke winst per beurt bij langdurig spelen gaat berekenen. Hij definieert M als mogelijke winst en schrijft:
M = a(1) + b(-1) = p – q = – 1/37
Abracadabra wordt het daarna voor velen wanneer de wiskundige, dankzij Huygens dus, met nog meer letters verder rekent. Dan kan kansberekening een schoolbord vol letters en leestekens worden, zoals we dat soms zien in films, zoals Good Will Hunting.
Dan is kansberekening ineens niet leuk meer. Gelukkig zijn de drie vragen bovenin deze tekst eenvoudig te beantwoorden en te begrijpen.
Wat is de kans dat je de jackpot wint in de Staatsloterij? Bij 3,5 miljoen verkochte loten is dat per lot 1 gedeeld door 3,5 miljoen = 0,000000286 procent. Je kunt natuurlijk ook gewoon zeggen 1 op 3,5 miljoen.
Wil je ook de kans op onderliggende prijzen berekenen dan wordt het sommetje al direct minder eenvoudig. En hoeveel geld je wint bij een kans is lastig, omdat een winnend lot van een hoge prijs ook winnend kan zijn bij een lagere prijs.
De kans dat het balletje op rood komt bij roulette staat onder het vorige kopje
De kans op 21 punten bij blackjack in de eerste beurt. Een spel heeft 52 kaarten. Daarvan zijn er 4 een aas en hebben 16 kaarten een waarde van tien. De kans om als eerste kaart een aas te krijgen is dus 4 op 52. De kans daarna op een kaart met waarde tien is 16 op 51 (de aas is er al uit). Deze kans maakt dus 4/52 x 16/51 = 64/2652 = (delen door 4) 16/663. De twee kansen bij elkaar is 32/663 oftewel 4,827%.
Echter je kunt natuurlijk ook eerst een kaart met waarde tien krijgen en daarna de aas. Daarom berekenen we ook die kans, op dezelfde manier. Die is dus 16/52 x 4/51 = 16/663. De twee kansen bij elkaar is 32/663 oftewel 4,827%.
Bij een volgende beurt veranderen de kansen omdat er dan al kaarten uit het spel zijn. En bij meerdere kaartspellen verandert de kans vanzelfsprekend ook, bij 5 spellen heb je immers 260 kaarten. Het verschil is overigens gering… reken maar uit.
Vind je de wiskundige kant van gokken interessant? Lees dan ook dit artikel over hoofdrekenen bij blackjack en andere kansspelen. Ook bij het wedden op sportwedstrijden kun je je winkansen vergroten door wiskunde in te zetten, bijvoorbeeld met de Poisson-verdeling. Ook interessant: Liberatus, een computerprogramma dat gebruikmaakt van kunstmatige intelligentie, heeft een aantal van de beste pokerspelers verslagen.
Lees over het ontstaan van de gokkast zoals we ‘m nu allemaal kennen, hoe het bekende casinospel blackjack ooit begon, of leer meer over de geschiedenis van speelkaarten. Ook interessant: waar komt het woord gokken eigenlijk vandaan?
Ook in de 19e eeuw waagde men al graag een gokje, lees over de Londonse gokhuizen rond 1800 en de door John Thurtell gepleegde moord vanwege een gokschuld.
